<tex>x^n + y^n = z^n</tex> hat keine ganzzahligen Lösungen für <tex>n > 2</tex>.
Beweis oder Gegenbeweis hier ganz schnell einfügen. Dann winkt unsterblicher Ruhm.
Gegenbeweis:
Offensichtlich gilt <tex> \forall \; x \in \; \mathbb{N}: 0^3 + x^3 = x^3</tex>
(Da <tex>0^3 = 0</tex>). ;P
Anfang eines Beweis-Versuch für n=3:
1.) <math>\forall \; x, y, z \in \; \big\{ 1, 2, .., 10000 \big\} : x^3 + y^3 \ne z^3</math>
(trivial Nachweisbar mit einem kleinen Script (Quellcode?))
2.) Offensichtlich gilt für eine mögliche Lösung: <tex>x, y \ll \; z</tex> und die 3te Wurzel aus der Differenz von <tex>x^3</tex> und <tex>z^3</tex> müsste ganzzahlig sein. Das gilt aber für kein <tex>x, z \in \; \mathbb{N}_+</tex> (was noch zu Zeigen ist). ;P
Links: ISBN 3-423-33052-X